在數(shù)學(xué)上，數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，而且大小也是無限的。無論多大的數(shù)，都能找出比它更大的數(shù)。假設(shè)M是一個(gè)極大的數(shù)，哪怕給這個(gè)數(shù)加上0.0001，所得到的M+0.0001也會(huì)比M大。同樣地，無論多小的數(shù)，也能找出比它更小的數(shù)，只要在它基礎(chǔ)上再減去一個(gè)大于0的數(shù)即可。

因此，數(shù)學(xué)上并不存在最大的數(shù)，也不存在最小的數(shù)。不過，數(shù)學(xué)家倒是發(fā)現(xiàn)過一些非常大且有意義的數(shù)，它們能夠大到難以想象的程度。另一方面，給非常大的數(shù)添上負(fù)號(hào)，就能得到非常小的數(shù)，所以要找最小的數(shù)等同于找最大的數(shù)。那么，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的最大有意義的數(shù)是多少呢？

最大的數(shù)

構(gòu)造一個(gè)大數(shù)，很多人可能會(huì)首先想到指數(shù)或者階乘。9^128相當(dāng)于1.39×10^122，128!相當(dāng)于3.85×10^215，這兩個(gè)數(shù)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了可觀測(cè)宇宙中的粒子總數(shù)（10^80）。但在數(shù)學(xué)上，還有構(gòu)造出更大數(shù)的方法，比如高德納箭號(hào)表示法：

根據(jù)上式，如果a=3，和b=5，當(dāng)n=1時(shí)，可得：

3↑5=3^5=3×3×3×3×3=243

當(dāng)n=2時(shí)，3↑↑5這個(gè)數(shù)的大小會(huì)急劇增大：

3↑↑5=3^3^3^3^3=3^3^3^27=3^3^7625597484987≈3^(1.258×10^3638334640024)

3↑↑5這個(gè)數(shù)已經(jīng)大到不可思議的程度，如果再加一層，3↑↑↑5更是大到無法想象的程度。

數(shù)學(xué)家葛立恒在解決與拉姆齊二染色定理有關(guān)的問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)當(dāng)時(shí)被認(rèn)為最大的數(shù)，后來被稱為葛立恒數(shù)。這個(gè)數(shù)實(shí)在太大了，它的表示方法很特別，如下所示：

從下往上看，每一層的數(shù)都表示上一層的箭頭個(gè)數(shù)。第一層為：

g(1)=3↑↑↑↑3=3↑↑↑[3↑↑↑(3↑↑↑3)]

3↑↑↑3=3^3^3……^3，這個(gè)指數(shù)塔中，共有7625597484987或者3^3^3個(gè)3

就g(1)而言，這個(gè)數(shù)已經(jīng)大到無法用常規(guī)的方式表達(dá)。到了第二層，箭頭個(gè)數(shù)變成了g(1)個(gè)，這一層的數(shù)會(huì)更加大幅增長。而葛立恒數(shù)總計(jì)64層，每增加一層，數(shù)就會(huì)急劇增大。葛立恒數(shù)之大超乎想象，如果要把這個(gè)數(shù)完全展開，在直徑930億光年的可觀測(cè)宇宙中，每個(gè)最小的普朗克空間（4×10^-105立方米）寫一個(gè)數(shù)，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)寫不完葛立恒數(shù)的所有數(shù)。

后來，數(shù)學(xué)家又發(fā)現(xiàn)了超越葛立恒數(shù)的數(shù)，當(dāng)然不是“葛立恒數(shù)+1”，或者“葛立恒數(shù)^葛立恒數(shù)”，因?yàn)檫@些數(shù)沒有什么意義。這個(gè)更大的數(shù)與矩陣樹定理中的TREE函數(shù)有關(guān)，這是一個(gè)增長速度極快的函數(shù)。

TREE函數(shù)增長快到什么程度呢？TREE(1)=1，TREE(2)=3，乍一看這個(gè)函數(shù)不咋樣。然而，到了TREE(3)，這個(gè)數(shù)突然暴增到不可思議的巨大程度。TREE(3)比葛立恒數(shù)，就像葛立恒數(shù)比1。

TREE(3)的最大紀(jì)錄也被打破了，因?yàn)檫€有比TREE函數(shù)增長速度快得多的SSCG函數(shù)。SSCG(0)=2，SSCG(1)=5，這個(gè)函數(shù)一開始也是增長很慢，但SSCG(2)已經(jīng)達(dá)到了3×2^(3×2^95)-8，相當(dāng)于3后面跟了3萬億億億個(gè)0。到了SSCG(3)，這個(gè)數(shù)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過TREE(TREE(...TREE(3)...))，總嵌套層數(shù)為TREE(3)個(gè)，葛立恒數(shù)在它面前小到近乎為0。SCG是與SSCG相近的函數(shù)，其增長速度還要更快，SCG(3)還要大于SSCG(3)。

最小的數(shù)

如果要說數(shù)學(xué)中最小的數(shù)，可以在給SCG(3)加個(gè)負(fù)號(hào)，-SCG(3)可以小到不可思議的程度。如果要說科學(xué)意義上最小的數(shù)，各種普朗克單位就非常小，比如上面提到的1普朗克空間，數(shù)量級(jí)在10^-105。更小可以小到0，那就是0開氏度的絕對(duì)零度，但這個(gè)溫度在現(xiàn)實(shí)中無法達(dá)到。