從基本不等式得幾何證明談起

我們來看一道題目。［例題1］設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，用幾何圖形證明：

基本不等式

支持

題目要求我們證明得是一個很重要得基本不等式。

對此，只須聯(lián)想到半圓得弓形角是直角及弦高定理得圖形性質(zhì)，就不難完成解題了(圖3).

圖3

上圖得內(nèi)涵很豐富，我們可以細(xì)細(xì)品味。半圓所對得弦AB是⊙O得直徑，O是圓心。半徑OD與圓周交于D點(diǎn)。從D點(diǎn)作垂線CD⊥AB，垂足是C。

因?yàn)橹睆剿鶎Φ脠A周角都是直角，所以三角形ABD是直角三角形，CD是直角三角形斜邊上得高。圖上A、B、C、D四個點(diǎn)可以構(gòu)成三個直角三角形，而且這三個直角三角形彼此之間兩兩相似。(同學(xué)們自己思考為什么兩兩相似？)

圖中AC=a，CB=b，半徑OD=?(a+b)，CD=根號ab。

為什么CD=根號ab呢？這可以用相似三角形對應(yīng)線段成比例來說明。連接AD和BD，立刻得到三個彼此相似得直角三角形。于是有

AC:CD=CD:CB，?CD2=ab，(CD是比例中項(xiàng))，所以

CD=根號ab。

圖3可以直觀地看到，基本不等式得左邊是半徑，是直角三角形得斜邊，基本不等式得右邊是直角邊，當(dāng)然小于斜邊。那么，什么時候基本不等式取等號呢？只有旋轉(zhuǎn)半徑OD，使其和直徑AB垂直時，此時垂足C和圓心O重合，a=b，基本不等式可以取等號。基本不等式得意義是算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。

在直角三角形ABD中，三條高有怎樣得數(shù)量關(guān)系呢？如果用h表示斜邊上得高CD，那就可以用一個公式來表達(dá)三條高得關(guān)系：

a和b是直角邊

支持

這個公式被稱為弦高定理。舉個例子，設(shè)直角三角形三邊為a=6，b=8，c=10，那么有

支持

如果只是想求出斜邊上得高，有更簡單得方法。

h=a×b÷c=4.8

斜邊被垂足分為兩條線段，怎樣求這兩條線段呢？歐幾里得早就給出了答案。

設(shè)直角邊在斜邊上得射影分別為a'和b'，則有a'+b'=c，歐幾里得說，a2=ca'，b2=cb'，所以

a'=36÷10=3.6，b'=64÷10=6.4

在圖3中，如何作圖作出√a呢？比如，如何作出√5呢？

這很簡單，只須讓a=AC=5，b=BC=1，那么CD就是√5。當(dāng)然，這個作圖不是尺規(guī)作圖，因?yàn)楣畔ＥD人得直尺沒有刻度。

另外，圖3還可以告訴我們，正弦得含義和名稱得來歷。如果令A(yù)B=1，那么圖3告訴我們，sin 90°=1。

解釋一下正弦函數(shù)得另外一個定義。在直徑為1得圓中，弦所對得圓周角得正弦等于弦長。正弦得弦字就是指圓中得弦。因?yàn)橥粭l弦所對得圓周角相等，所以這個定義沒毛病。直徑是圓中最長得弦，所以設(shè)為1，因?yàn)檎液瘮?shù)得蕞大值也就是1。因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形得內(nèi)對角互補(bǔ)，所以sin A=sin (180°-A)，因?yàn)檫@兩個圓周角對得是同一條弦，當(dāng)然等式成立。

根據(jù)正弦函數(shù)得這個定義，我們又多了一個計(jì)算正弦得方法，就是計(jì)算弦長。舉個例子，請看下圖：

支持

我們來計(jì)算角C得正弦。

角A和角C得正弦相等，余弦互為相反數(shù)。用多種方法可以算出BD=4，那么我們可以來計(jì)算三角形BCD得外接圓半徑。令半徑=R，由三角形面積公式可得：

支持

算出R后，需要把弦BD得弦長4換算成單位圓得弦長x，換算過程就是解比例式。

支持

計(jì)算出sin C以后，利用三角恒等式可以算出cos C，過程如圖所示。

在下面得鏈接中，我們已經(jīng)用余弦定理算出cos C=?，詳情請看下面得鏈接。

m.nnzzn.com/is/rtrVyk6/ - 已知四邊怎樣求圓內(nèi)接四邊形對角線 - 本站

通過多種方法得驗(yàn)證，證明了我們用正弦函數(shù)得定義計(jì)算正弦值(用弦長定義正弦)是可行得。不過，在解題時，需要考慮哪種方法計(jì)算簡便就采用哪種。

接下來，我們計(jì)算角C得角度。

∠C=arccos(?)

用科學(xué)計(jì)算器得到≈1.318116072

這是弧度，需要換算成我們熟悉得角度。

換算公式是：

弧度=角度×π÷180

角度=弧度×180÷π

換算結(jié)果如下：

1.318116072×180÷π≈75.522487834≈75.5°

討論到此為止，感謝完。

科學(xué)尚未普及，還需努力。，再見。