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又是幾何難題。用三角函數可以輕易解決_怎樣用幾

放大字體  縮小字體 發布日期:2023-02-22 06:24:16    作者:江炫堂    瀏覽次數:74
導讀

這是百度上看到的幾何難題。看起來很不好做。三角形內有個正方形,求正方形的面積。幾何難題讓我們靜下心來思考一下,三角形能給我們哪些已知條件?正方形能給我們哪些已知條件?另外注意到FB=FC,線段相等給圖形旋

這是百度上看到的幾何難題。看起來很不好做。三角形內有個正方形,求正方形的面積。

幾何難題

讓我們靜下心來思考一下,三角形能給我們哪些已知條件?正方形能給我們哪些已知條件?另外注意到FB=FC,線段相等給圖形旋轉帶來方便。

把△CFG繞F點旋轉180°到△BFD,此時BD∥AC,設∠A=α,則∠ABD=180°-α。設正方形邊長=x,則ED=EG=√2x。我們對△AEG和△BDE運用余弦定理,得到:

2x2=72+92-2×7×9cosα,

2x2=62+22-2×6×2cos(180-α)。

解方程得:cosα=3/5。x2=136/5。

這樣就得到了正方形的面積。這個方法簡單。很多幾何題用三角函數來解比較方便,可以參看我的其他幾篇文章。

作輔助線

再來思考如何用幾何方法解題。

既然旋轉了,就干脆用旋轉后的等價幾何題來證明一下。首先畫出圖形如下,題目變為:

四邊形ABDG是梯形,AG∥BD,AG=9,BD=2,AB=13。F是DG的中點,E在AB上,BE=6。四邊形EFGH是正方形,求正方形的面積。

等價變形后的幾何題

解題思考過程:

已知條件為梯形、正方形、線段中點、線段長度。為了找出正方形邊長與已知線段長度之間的關系,作梯形的中位線FM,延長GH交AB于N,發現△EFM∽△NGA。設正方形邊長為x,用相似三角形比例關系算出,HN=7x/11,EN=68/11,△EHN是Rt△,由勾股定理得到方程x2+(7x/11)2=(68/11)2。解得x2=136/5。

總結一下:將三角形通過旋轉得到一個等價梯形,用相似三角形邊長成比例得到相關數據,用勾股定理列出方程解得正方形的面積。

做完后再看老師的解法。尤其是自己花了很多時間研究之后,想知道別人有什么好的做法。

老師的解法是作BP∥FG,FG是三角形中位線,也是用相似三角形和勾股定理解方程,道理是相似的。不用旋轉,直接作輔助線。很好的解法,學有所獲。

老師的解法

此時心中感到無比欣慰。因為是自己研究所得,我給出的解法一定是獨一無二的。我與老師的解法形不同而意同,這也是數學的魅力所在。

當幾何題比較難解的時候,找到它的等價幾何題應該是一個不錯的方法,我有很多這方面的嘗試。

這里是輕松簡單學數學,用最簡方法,學最難數學。輕松簡單不是憑空而來,而是長期研究思考的結果。

 
(文/江炫堂)
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