本文作者：劉瑞祥，[遇見(jiàn)] 這里感謝劉老師投稿支持！

以前我曾經(jīng)談過(guò)概念，這篇文章再談一談和概念直接有關(guān)系的定義。

定義為什么重要？我不想抽象地談?wù)摱x，只想從對(duì)大家最有直接幫助的地方談起。就我個(gè)人的認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，定義既是概念的必要條件，也是概念的充分條件，或者說(shuō)，既可以當(dāng)做“性質(zhì)定理”，也可以當(dāng)做“判定定理”。

比如初中幾何中的“平行四邊形”定義就是一例。你要判斷一個(gè)四邊形是不是平行四邊形，那就要看這個(gè)四邊形是不是對(duì)邊分別平行，或者看是否滿足其她判定定理，而其她判定定理歸根到底是因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化成定義要求的條件。而你一旦遇到平行四邊形，不管是條件里已經(jīng)給出的，還是前面你證明了的，立刻可以應(yīng)用全部平行四邊形的性質(zhì)定理繼續(xù)推理。可以說(shuō)，定義本身就給我們提供了豐富的解題依據(jù)。更重要的是，有時(shí)我們沒(méi)有別的依據(jù)，只能靠定義來(lái)解題。我想，凡是曾經(jīng)證明過(guò)數(shù)列和函數(shù)極限的人都深有體會(huì)吧。為了讓沒(méi)有接觸過(guò)極限的人也理解這一點(diǎn)，我舉一個(gè)和極限概念無(wú)關(guān)的例子：作三角形的外接圓。顯然這里只需要作任意兩邊的垂直平分線并求交點(diǎn)就可以了。而這個(gè)作圖法之所以成立，也正是因?yàn)樗蟮慕稽c(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，符合圓的定義。類(lèi)似的，要想證明若干點(diǎn)共圓，一個(gè)容易想到的方法就是證明這些點(diǎn)到另外一個(gè)定點(diǎn)的距離相等。

從以上的簡(jiǎn)單例子可以看出，只有對(duì)做題有幫助的定義才是好定義。初學(xué)數(shù)學(xué)的人，往往容易把關(guān)于對(duì)象的直觀描述當(dāng)成定義。但直觀描述不但是不可靠的，也是對(duì)做題沒(méi)有幫助的。大家可以翻一下自己的數(shù)學(xué)書(shū)，看看哪些話語(yǔ)會(huì)在解題時(shí)用到，就能對(duì)這里說(shuō)的有所體會(huì)。或者大家也可以設(shè)想一下，假設(shè)你要教給完全沒(méi)有生活經(jīng)驗(yàn)的電腦一個(gè)概念，那你應(yīng)該是教她嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義還是直觀描述呢？

越是到高層次的數(shù)學(xué)，定義的作用越大，以至于有人說(shuō)，數(shù)學(xué)最重要的不是技巧，而是概念（顯然這是包括其定義在內(nèi)的）。除了以上我們?cè)?jīng)提到的極限定義以外，在高層次的數(shù)學(xué)當(dāng)中，我們還會(huì)遇到各種各樣的所謂“空間”，而要判斷空間所屬哪一類(lèi)，就必然要用到這些空間的定義，逐條加以分析，進(jìn)一步我們可以根據(jù)她所屬的空間類(lèi)別，來(lái)推斷她的性質(zhì)——這一類(lèi)空間就有這一空間的性質(zhì)，那一類(lèi)空間就有那一類(lèi)空間的性質(zhì)。這樣就可以把很多貌似不同的東西放在一起分析，得到同一類(lèi)結(jié)論。

但還是有很多人覺(jué)得概念難以理解，我的看法是，要理解概念，不妨就找點(diǎn)實(shí)際例子。這里的例子既包括我們?cè)缇褪煜さ模部梢园ㄒ恍┎皇煜さ模€可以包括一些不滿足定義的例子。這樣從各個(gè)方面來(lái)理解定義，就容易多了。比如很多人對(duì)矩陣的特征向量、特征值有困惑，那你不妨隨便寫(xiě)個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣，然后手動(dòng)求一下特征向量和特征值，再和原來(lái)的矩陣作一下乘法，看看乘得的結(jié)果是什么。這里可以用具體的數(shù)字來(lái)算，不要總在字母里打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)。在這之后，還可以再隨便假設(shè)特征值是一個(gè)什么別的數(shù)，看看能不能得到特征向量（肯定是不能）。我相信，這一通操作下來(lái)，你會(huì)對(duì)定義有更進(jìn)一步的理解。